기업이나 개인은 한 가지 자산을 보유하는 것이 아니라 여러 종류의 자산을 동시에 보유합니다. 시장에는 많은 투자대상이 있는데, 투자자는 본인의 선호에 따라 투자 목적에 부합하는 여러 투자대상을 소유하게 됩니다. 이와 같은 여러 투자자산의 집합을 포트폴리오라고 합니다. 이 글에서는 자산관리 분야에서 사용되는 포트폴리오 이론을 살펴볼 것입니다.

포트폴리오의 기대수익률과 위험

투자자의 기대효용을 극대화시키는 최적 포트폴리오를 선택하기 위해서는 최적 개별자산의 선택을 위하여 평균-분산 모형을 그대로 이용할 수 있습니다. 포트폴리오의 기대수익률과 분산은 미래에 발생할 포트폴리오 수익률의 확률분포를 알면 계산할 수 있으나, 확률분포를 모르더라도 포트폴리오를 구성하는 개별증권 각각의 기대수익률, 분산, 그리고 증권들 간의 공분산을 알면 구할 수 있습니다.

예시를 통하여 쉽게 설명하겠습니다.

예시는 자산 A와 자산 B에 해당하는 기댓값(수익률), 분산, 표준편차를 보여주고 있습니다. 예시에서 볼 수 있는 두 개의 자산을 가지는 포트폴리오의 수익률은 다음과 같습니다.

자산 A의 기댓값과 자산 B의 기댓값을 각각의 비율로 곱한 후 더한 값과 같습니다. 각각의 비율을 50%, 50%로 가정했을 때 위 포트폴리오의 기대수익률은 14.5%가 됩니다.

포트폴리오 위험 계산

포트폴리오를 구성하고 있는 개별자산의 분산과 각각의 구성 비율이 주어지면 다음과 같이 포트폴리오의 위험을 계산할 수 있습니다.

※ 참고: 위의 수식을 이해하기 힘들다면 통계학에서 사용하는 각종 통계값의 연산법칙에 대하여 자세히 알아볼 필요가 있습니다. 다음 글을 참고하면서 이 글을 읽으면 이해하는 것이 더욱 쉬울 것입니다. → 2017/08/09 통계학 기댓값, 분산, 표준편차, 공분산 연산법칙 정리 by Walter Erzsamatory

σ_AB를 두 자산에 대한 수익률의 공분산이라고 부르고 Cov(r_A, r_B)로도 나타냅니다. 공분산은 두 자산의 수익률이 상호 관련되어 있는 정도를 측정해주는 척도로 각 자산의 실현 가능한 수익률과 기대수익률의 차이인 편차의 곱을 발생 확률로 곱하여 모두 더한 값입니다.

두 자산의 수익률 상관관계를 나타내주는 척도로 공분산도 많이 사용되지만 공분산으로는 수익률 간에 갖는 상관관계의 정도를 구체적으로 나타낼 수 없기 때문에 공분산을 표준화한 값인 상관계수가 자주 사용됩니다. 두 자산의 수익률의 상관계수는 ρ로 나타내며 다음과 같이 정의됩니다.

상관계수는 공분산을 각 투자안의 표준편차의 곱으로 나누어 두 투자안의 수익률의 상관관계를 보다 분명하게 측정할 수 있도록 나타낸 것으로 –1에서 +1 사이의 값을 갖습니다.

• 상관계수가 +1의 값을 갖는 경우: 두 투자안의 수익률은 양(+)의 기울기를 갖는 완전한 직선관계
• 상관계수가 –1의 값을 갖는 경우: 두 투자안의 수익률은 음(-)의 기울기를 갖는 완전한 직선관계

상관계수의 정의에 따라 포트폴리오의 위험은 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있습니다.

따라서 위에서 예로 들었던 자산 A와 자산 B로 구성된 포트폴리오의 분산과 표준편차를 구하면 다음과 같습니다.

n개의 자산으로 구성된 포트폴리오

위에서는 두 개의 자산으로 구성된 포트폴리오에 대하여 알아보았습니다. 이번에는 3개 이상의 자산으로 구성되는 포트폴리오에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

먼저, n개의 자산으로 구성된 포트폴리오의 수익률은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

수익률을 구할 때 달라진 것은 아무것도 없습니다. 단지 자산의 갯수만 늘어났을 뿐입니다. 따라서 기대수익률은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

n개의 자산을 가지는 포트폴리오의 위험은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 뭔가 많이 복잡해진 느낌이지만 위에서 보았던 포트폴리오의 위험을 구하는 방법과 큰 차이는 없습니다. 단지 자산이 더 추가됐다는 것만 다를 뿐입니다. 이 부분을 더욱 쉽게 이해하기 위하여 다음 글을 읽어보시기 바랍니다. → 2017/08/09 재무관리 위험 측정도구 분산-공분산 행렬 정리 by Walter Erzsamatory

포트폴리오의 위험분산효과

아래 표를 보면 자산 A는 미래 상태와 관계없이 확실한 10%의 수익을 가져다 주지만, 자산 B와 C는 미래 상태에 따라 수익률이 달라지는 것을 알 수 있습니다. 또한 자산 B와 C는 서로 완전히 반대방향으로 움직이고 있습니다. 즉, 자산 B와 C의 수익률 상관계수는 –1입니다.

이 경우 기대수익률은 자산 A, B, C 모두 10%이지만 위험(표준편차)은 자산 A가 0이고 자산 B와 C는 10%임을 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 평균-분산 모형에 의하면 자산 B와 C는 자산 A에 의해 지배되어 위험회피형 투자자라면 아무도 자산 B나 C를 선호하지 않을 것입니다.

하지만 자산 B와 C에 절반씩 투자하여 구성한 포트폴리오 P는 기대수익률이 10%이고 표준편차는 0이 되어 자산 A에 지배되지 않습니다.

이와 같이 자산을 결합하여 포트폴리오를 구성함으로써 위험이 줄어들어 기대효용이 증가하는 현상을 분산효과 또는 포트폴리오 효과라고 합니다.

※ 분산효과 또는 포트폴리오 효과
분산효과는 포트폴리오를 구성하는 자산들의 움직임이 서로를 상쇄하는 작용을 합니다. 즉, 위의 예를 들면 두 자산이 반대방향으로 정비례하여 움직이므로 서로의 움직임을 정확하게 상쇄하여 위험을 완전히 제거하게 되는 것입니다. 이 경우는 움직임의 상관계수가 –1인 예로써, 이때 분산효과가 가장 크게 나타납니다.

두 자산이 같은 방향으로 정비례하여 움직일 경우(상관계수가 +1인 경우)를 제외하면, 정도의 차이는 있지만, 분산효과는 항상 일어납니다. 분산효과의 정도는 상관관계의 정도에 의해 결정되며, 상관계수가 낮으면 낮을수록 즉, -1에 가까울수록 분산효과는 크게 나타납니다.

비체계적 위험과 체계적 위험

포트폴리오를 구성하는 자산이 많아질수록 위험은 줄어듭니다. 하지만 자산을 무한대로 증가시켜도 줄어들지 않는 부분이 있습니다. 따라서 아무리 효율적으로 분산 투자하여도 위험을 평균공분산 이하로는 감소시킬 수 없습니다.

• 비체계적 위험: 포트폴리오의 분산투자로 제거할 수 있는 위험(분산 가능한 위험, 기업 고유의 위험)입니다. 종업원의 파업, 법적 문제, 판매의 부진 등 개별주식을 발행하는 기업의 특수한 상황과 관련됩니다. 기업의 특수사정으로 인한 위험은 예측이 어렵기 때문에 분산투자를 함으로써 위험 제거 가능합니다.
• 체계적 위험: 포트폴리오의 분산투자로 제거할 수 없는 위험(분산 불능 위험, 시장위험)입니다. 시장의 전반적인 상황과 관련이 있습니다. 인플레이션, 이자율의 변화 등 여러 기업들에게 공통적으로 영향을 주는 경기와 관련된 요인에 영향을 받습니다.

타이틀 이미지: Dustin Moore, Money, Flickr. CC BY 2.0.