재무관리의 포트폴리오이론에서 자산의 위험을 측정할 때에는 분산을 이용합니다. 분산이 크면 기댓값의 변동폭이 커지므로 위험이 높아지며, 분산이 작아지면 작아질수록 기댓값의 변동폭이 작아지기 때문에 위험이 줄어들게 됩니다. 이러한 위험을 측정할 때에는 특히 여러 종류의 자산이 포함된 포트폴리오의 위험을 측정하기 위해서는 각 자산에 대한 위험을 구해야 하는데, 이때 유용하게 사용할 수 있는 것이 바로 분산-공분산 행렬입니다.

자산 위험 측정의 기초

포트폴리오이론에 있어서 위험의 측정은 분산 또는 표준편차의 값을 이용합니다. 예를 들어, 회사A의 주식이 있는데 이 주식이 불황과 호황에 따라 또는 기타 변수에 따라 가격의 변동폭이 크면 분산이 클 것이고 변동폭이 작다면 분산이 작을 것입니다.

포트폴리오의 분산(위험)은 구성된 각 자산의 비율과 다른 자산의 비율 그리고 공분산의 곱으로 나타냅니다. 이것을 수학식으로 나타내면 다음과 같습니다.

위의 수식으로 하나의 예시를 만들면 다음과 같습니다. 만약 두 개의 자산, 자산A와 자산B로 구성된 포트폴리오가 있다고 가정했을 때 이 포트폴리오의 분산(위험)은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

n개의 자산으로 구성되는 포트폴리오의 위험 측정

n개의 자산으로 구성되는 포트폴리오의 분산(위험)을 측정할 때에는 분산-공분산 행렬이라는 것을 이용합니다. 이것은 위에서 소개한 수학식을 그대로 사용하지만 보다 눈으로 보기 쉽게 이 식을 행렬(표)로 나타낸 것입니다.

재무관리의 포트폴리오 이론에서 설명하는 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix)은 위와 같이 생겼습니다. 두 자산이 겹치는 가운데의 대각선 부분은 항상 해당 자산의 포트폴리오 비율과 분산의 곱으로 이루어 집니다. 위 행렬을 다시 정리하면 아래와 같습니다.

기여도를 이용한 포트폴리오 위험 측정

분산-공분산 행렬은 각 행별로 분해하여 볼 수도 있습니다. 첫 번째 행의 합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

또한 위 식은 다음과 같이 정리될 수 있습니다.

각 자산에 대한 비율과 자산 1과 해당 자산의 공분산의 곱의 합은 포트폴리오와 자산 1의 공분산과 같으므로 위와 같은 식을 도출해낼 수 있는 것입니다. 위 식은 포트폴리오 전체 위험에서 자산 1이 기여하는 부분을 나타냅니다. 같은 방식에 의하여 두 번째 행의 합은 로 쓸 수 있으며 이는 포트폴리오 전체 위험에서 자산 2의 기여도를 나타냅니다. 따라서 포트폴리오 위험은 개별자산이 기여하는 부분의 합으로 다음과 같이 표시될 수 있습니다.

타이틀 이미지: Ken Teegardin, Numbers And Finance, Flickr. CC BY-SA 2.0.